Question

若a⁴+3a²=1，b²-3b=1，且a²b≠1，则

a2b+1

a2

的值是（　　）

• A、3
• B、2
• C、-3
• D、-2

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：计算题

分析：由已知的两等式都等于1，得到两等式左边的式子相等列出关系式，因式分解后，根据两数相乘积为0，可得两因式中至少有一个为0，得到a²+b=0或a²-b+3=0，若a²-b+3=0，表示出b，代入a²b中，根据a⁴+3a²=1，得到其值为1，与其值不等于1矛盾，故a²-b+3≠0，进而得到a²+b=0，表示出b，代入所求的式子中，并根据a⁴+3a²=1表示出a⁴，化简后即可得到所求式子的值．

解答：解：∵a⁴+3a²=1，b²-3b=1，
∴a⁴+3a²=b²-3b，即a⁴-b²+3a²+3b=0，
整理得：（a²+b）（a²-b）+3（a²+b）=0，
可得：（a²+b）（a²-b+3）=0，
可得：a²+b=0或a²-b+3=0，
当a²-b+3=0，即b=a²+3时，
a²b=a²（a²+3）=a⁴+3a²=1，与a²b≠1矛盾，故a²-b+3≠0，
∴a²+b=0，即b=-a²，又a⁴=-3a²+1，
则

a2b+1

a2

=

-a4+1

a2

=

3a2

a2

=3．
故选A．

点评：此题考查了根与系数的关系，以及因式分解的应用，利用了整体代入的思想，是一道技巧性较强的题．学生做题时注意条件a²b≠1的运用．