Question

若平面内有一正方形ABCD，M是该平面内任意点，则

MA+MC

MB+MD

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：正弦定理与余弦定理

专题：计算题

分析：过点M作MF⊥AD交AD的延长线与点F，作ME垂直BC交BC的延长线与点E，则可得出MA²+MC²=MB²+MD²，利用余弦定理表示出AC²、BD²，根据AC=BD可得出

MA•MC

MB•MD

的值，进而表示出

MA+MC

MB+MD

，转化为求

MA•MC

MB•MD

的最小值，然后可判断出点M的位置．

解答：解：过点M作MF⊥AD交AD的延长线与点F，作ME垂直BC交BC的延长线与点E，如图，

∵MA²+MC²=MF²+AF²+ME²+CE²，MB²+MD²=BE²+ME²+DF²+FM²，DF=CE，AF=BE，
∴MA²+MC²=MB²+MD²，
又∵AC²=MA²+MC²-2MA•MC•cos∠AMC，BD²=MB²+MD²-2MB•MD•cos∠BMD，AC=BD，
∴MA•MC•cos∠AMC=MB•MD•cos∠BMD，

MA•MC

MB•MD

=

cos∠BMD

cos∠AMC

，
∵

MA+MC

MB+MD

=

MA2+MC2+2MA•MC MB2+MD2+2MB•MD

，
又∵MA²+MC²=MB²+MD²，
∴当

cos∠BMD

cos∠AMC

最小时，这个值最小，所以当∠BMD=90°，∠AMC=0°时最小，即点M与点A、C重合时，
此时

MA+MC

MB+MD

=

2

2

．
故答案为：

2

2

．

点评：此题考查了余弦定理的知识，难度较大，解答本题的关键是将原式的最小值转化为求

cos∠BMD

cos∠AMC

最小值，另外要求我们熟练掌握勾股定理的应用．