Question

12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A，C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），BC=$\frac{3}{4}$AC．
（1）求过点A，B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，若P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，若△APQ与△ADB相似，求出m的值．

Answer 1

分析 （1）根据点A、C的坐标求出AC的长，根据题意求出点B的坐标，利用待定系数法求出过点A，B的直线的函数表达式；
（2）过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；
（3）分PQ∥BD时和PQ⊥AD时两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 解：（1）∵点A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，又BC=$\frac{3}{4}$AC，
∴BC=3，
∴B点坐标为（1，3），

设过点A，B的直线的函数表达式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{k+b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的函数表达式为：y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$；

（2）如图1，过点B作BD⊥AB，交x轴于点D，
∵∠A=∠A，∠ABD=∠ACB，
∴△ADB∽△ABC，
∴D点为所求，
∵△ADB∽△ABC，
∴$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，即$\frac{3}{4}$=$\frac{CD}{3}$，
解得，CD=$\frac{9}{4}$，
∴$OD=OC+CD=\frac{13}{4}$，
∴点D的坐标为（$\frac{13}{4}$，0）；
（3）在Rt△ABC中，由勾股定理得AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
如图2，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD，

则$\frac{m}{5}$=$\frac{3+\frac{13}{4}-m}{3+\frac{13}{4}}$，
解得，m=$\frac{25}{9}$，
如图3，当PQ⊥AD时，△APQ∽△ADB，
则$\frac{m}{3+\frac{13}{4}}$=$\frac{3+\frac{13}{4}-m}{5}$，
解得，m=$\frac{125}{36}$，
所以若△APQ与△ADB相似时，m=$\frac{25}{9}$或$\frac{125}{36}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、待定系数法求函数解析式，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．