Question

2．在△ABC中和△DBE中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，EF⊥AB于F，且AB=DE．
（1）观察并猜想，BD、CE与AC有何数量关系？并证明你猜想的结论．
（2）若BD=8cm，试求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用同角的余角相等求出∠A=∠FEB，再利用“角角边”证明△ACB和△EBD全等，根据全等三角形对应边相等可得BD=BC，AC=BE，然后根据BC=CE+BE等量代换证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等求出BC，根据线段中点的定义求出BE，从而得到AC，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 （1）BD=CE+AC
证明：∵EF⊥AB，
∴∠EFB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，∠FEB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠FEB，
在△ACB和△EBD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠FEB}\\{∠C=∠DBE=90°}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△EBD（AAS），
∴BD=BC，AC=BE，
∴BD=CE+AC；

（2）解：∵由（1）知：△ACB≌△EBD，
∴BC=BD=8cm，BE=AC，
∵E为BC中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=4cm，
即AC=4cm，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$×8×4=16cm²．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键．