Question

17．根据所给条件求抛物线的解析式：
（1）抛物线经过A（一1，0），B（4，0），C（0，2）三点．
（2）抛物线图象过点（-1，0）、（3，0），其最大值为3．
（3）抛物线图象过点A（-2，0），B（2．-8），且对称轴为直线x=1．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+1）（x-4），然后把C（0，2）代入求出a即可；
（2）先根据抛物线的对称性得到抛物线的顶点坐标为（1，3），再设交点式y=a（x+1）（x-3），然后把顶点坐标代入求出a即可；
（3）已知抛物线的对称轴，可以设出函数的解析式是y=a（x-1）²+k，把（-2，0），（2，-8）代入函数解析式即可求得函数解析式．

解答 解：（1））∵抛物线图象过点（-1，0）、（4，0），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-4），
把C（0，2）代入得a•1•（-4）=2，解得a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2．
（2）∵抛物线图象过点（-1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{-1+3}{2}$=1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
把（1，3）代入得a•2•（-2）=3，解得a=-$\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$（x+1）（x-3）=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{3}{2}$x+$\frac{9}{4}$．
（3）设函数的解析式是y=a（x-1）²+k，
把点A（-2，0），B（2．-8）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+k=0}\\{a+k=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{k=-9}\end{array}\right.$，
则函数的解析式是y=（x-1）²-9，即y=x²-2x-8．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．