Question

8．已知△ABC，分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE，且AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠CAE，连接DC与BE，G、F分别是DC与BE的中点
（1）如图1，DG=BF（用＞、＜或=填空）
（2）如图2，连接AG，判断△AFG的形状，并说明理由；
（3）如图3，若∠DAB=100°，则∠AFG=40°；
（4）在图3中，若∠DAB=α，∠AFG=β，直接写出α与β的关系．

Answer 1

分析 （1）根据等式的性质就可以得出∠DAC=∠BAE．就可以得出△ADC≌△ABE就可以得出DG=BF；
（2）如图2，连接AG，根据全等三角形的性质得到CD=BE，∠ADC=∠ABE，由G、F分别是DC与BE的中点，得到DG=BF，推出△ADG≌△ABF，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（3）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以求出∠AFG的值，；
（4）连接AG，根据条件就可以得出△ADG≌△ABF，就可以求出AG=AF，∠GAF=∠DAB，由等腰三角形的性质就可以表示β与a的关系．

解答 解：（1）∵∠DAB=∠CAE，
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴DC=BE，
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DG=BF；
故答案为：=；

（2）如图2，连接AG，
∵△ADC≌△ABE，
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$CD，BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DG=BF，
在△ADG与△ABF中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADG=∠ABF}\\{DG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABF，
∴AG=AF，
∴△AFG是等腰三角形；

（3）如图3，连接AG．
∵△ADC≌△ABE，
∴∠ADC=∠ABE．AD=AB．
∵G、F分别是DC与BE的中点，
∴DG=$\frac{1}{2}$DC，BF=$\frac{1}{2}$BE，
∴DG=BF．
在△ADG和△ABF中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠ADC=∠ABE}\\{DG=BF}\end{array}\right.$，
∴△ADG≌△ABF（SAS），
∴AG=AF，∠DAG=∠BAF，
∴∠AGF=∠AFG，∠DAG-∠BAG=∠BAF-∠BAG，
∴∠DAB=∠GAF．
∵∠DAB=100°，
∴∠GAF=100°．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴∠AFG=40°；
故答案为：40°；

（4）∵∠DAB=a，
∴∠GAF=a．
∵∠GAF+∠AFG+∠AGF=180°，
∴a+2β=180°．

点评 本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，等式的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形内角和定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．