Question

17．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB=a，CD=b（a＜b），若△BOC的面积为梯形面积的$\frac{2}{9}$，则$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由于AB∥DC，可得出△OAB∽△ODC；根据OA、OD的长，已知两个三角形的相似比；由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出$\frac{a}{b}$的值．

解答 解：由题意知：△AOB∽△DOC，则OA：OC=AB：CD=OB：OD=a：b，
∴$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△ABO}}$=$\frac{OC}{OA}$=$\frac{b}{a}$，
∴$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{△ABC}}$=$\frac{b}{a+b}$，
又∵$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{ADC}}$=$\frac{AB}{CD}$=$\frac{a}{b}$，
∴$\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{梯形ABCD}}$=$\frac{a}{a+b}$，
即$\frac{{S}_{△BOC}}{{S}_{梯形ABCD}}$=$\frac{b}{a+b}$•$\frac{a}{a+b}$=$\frac{2}{9}$．
∴2（a+b）²=9ab，
整理得：（2a-b）（a-2b）=0，
∵a＜b，
∴2a=b，即$\frac{a}{b}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．