Question

已知，在平面直角坐标系中，AB是双曲线y=

k

x

（k＞0），且在第一象限，AD⊥x轴，BC⊥x轴，∠AOB=∠COB=30°，点E是AD与BO的交点，ED=1，求k和S_△AOB．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：由x轴与y轴垂直，且∠AOB=∠COB=30°，得到∠AOF=∠COB=30°，利用对称的性质得到OA=OB，利用AAS得到三角形AOD与三角形BOC全等，利用全等三角形对应边相等得到AD=OC，OD=BC，在直角三角形OED中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半，根据ED的长求出OE的长，利用勾股定理求出OD的长，即为BC的长，在直角三角形AOD中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半求出OA的长，利用勾股定理求出AD的长，即为OC的长，由OC-OD求出CD的长，进而确定出A的坐标，代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，利用反比例解析式中k的几何意义得到三角形AOD与三角形BOC面积相等，三角形AOB面积=三角形AOD面积+梯形ABCD面积-三角形BOC面积=梯形ABCD面积，求出即可．

解答：解：∵∠FOC=90°，∠AOB=∠BOC=30°，
∴∠AOF=30°，∠AOD=∠OBC=60°，
由对称性得到OA=OB，
在△AOD和△OBC中，

∠ADO=∠OCB=90° ∠AOD=∠OBC OA=OB

，
∴△AOD≌△OBC（AAS），
∴AD=OC，OD=BC，
在Rt△OED中，ED=1，∠EOD=30°，
∴OE=2，根据勾股定理得：OD=

22-12

=

3

，
在Rt△AOD中，∠OAD=30°，OD=

3

，
∴OA=2

3

，根据勾股定理得：AD=

(2 3 )2-( 3 )2

=3，
∴A（

3

，3），即AD=OC=3，OD=BC=

3

，CD=OC-OD=3-

3

，
代入反比例解析式得：k=3

3

，
∴反比例解析式为y=

3 3

x

，
由反比例函数k的意义得到S_△AOD=S_△BOC=

3 3

2

，
则S_△AOB=S_△AOD+S_梯形ABCD-S_△BOC=S_梯形ABCD=

1

2

CD（BC+AD）=

1

2

×（3-

3

）×（

3

+3）=3．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，对称的性质，坐标与图形性质，勾股定理，以及反比例函数k的几何意义，利用对称的性质得到OA=OB是本题的突破点．