Question

13．如图，Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB的外角平分线CF相交于点D，AD交CB于P，CF交AB的延长线于F，过D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长线交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②AF-CG=CA；③DE=DC；④FH=CD+GH；⑤CF=2CD+EG，其中正确的有①②③⑤．

Answer 1

分析 （1）设∠GCD=x，∠DAC=y，则：$\left\{\begin{array}{l}{x=y+∠ADC}\\{2x=2y+∠ABC}\end{array}\right.$，故$∠ADC=\frac{1}{2}∠ABC$=45°．
（2）根据三线合一，延长GD与AC相交于点P，则CG=CP，AP=AF；
（3）证△ACD与△AED全等即可，同时可得出三角形CDE是等腰直角三角形；
（4）注意到E是三角形CGF的垂心，从而可证△CHG≌△FHE，则FH=CH=EH+CE=GE+CE=$\sqrt{2}$CD+GH；
（5）在DF上截取DM=CD，证△EMF≌△CEG即可．

解答 解：①利用公式：∠CDA=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，①正确；
②如图：延长GD与AC交于点P'，

由三线合一可知CG=CP'，
∵∠ADC=45°，DG⊥CF，
∴∠EDA=∠CDA=45°，
∴∠ADP=∠ADF，
∴△ADP'≌△ADF（ASA），
∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；
③如图：

∵∠EDA=∠CDA，
∠CAD=∠EAD，
从而△CAD≌△EAD，
故DC=DE，③正确；
④∵BF⊥CG，GD⊥CF，
∴E为△CGF垂心，
∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，
∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+$\sqrt{2}$CD，故④错误；
⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，
则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，
∵∠MFE=∠CGE，
∠CEG=∠EMF=135°，
∴△EMF≌△CEG（AAS），
∴GE=MF，
∴CF=CM+MF=2CD+GE，
故⑤正确；
综上所述，
答案为：①②③⑤．

点评 本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质、全等三角形的判定与性质等多个知识点，技巧性很强，难度较大，要求学生具有较高的几何素养．对于这一类多个结论的判断型问题，熟悉常见的结论及重要定理是解决问题的关键，比如对第一个结论的判定，若熟悉该模型则可以秒杀．