Question

18．如图，平行四边形ABCD中，M、N是BC边上的点，且∠AMD=∠AND=90°，则下列结论中一定成立的是（1）（3）（4）（把所有正确结论的序号都填在横线上）
（1）∠NAD=∠ADM，（2）BM=MC，（3）AN=DM，（4）AM=DN．

Answer 1

分析 先证明A、M、N、D四点共圆，由圆周角定理得出∠NAD=∠DMN，由平行四边形的性质得出∠ADM=∠DMN，得出∠NAD=∠ADM，（1）成立；由圆周角定理得出$\widehat{AM}=\widehat{DN}$，证出AM=DN，（4）成立；得出四边形AMND是等腰梯形，由等腰梯形的性质得出AN=DM，（3）成立；不能得出BM=MC，②不一定成立；即可得出结果．

解答 解：结论中一定成立的是：（1）（3）（4）；理由如下：
∵∠AMD=∠AND=90°，
∴A、M、N、D四点共圆，
∴∠NAD=∠DMN，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADM=∠DMN，
∴∠NAD=∠ADM，（1）成立；
∴$\widehat{AM}=\widehat{DN}$，
∴AM=DN，（4）成立；
∴四边形AMND是等腰梯形，
∴AN=DM，（3）成立．
没有条件证出BM=MC；
故答案为：（1）（3）（4）．

点评 本题考查了平行四边形的性质、四点共圆、圆周角定理、等腰梯形的判定与性质等知识；熟练掌握圆周角定理和平行四边形的性质，证明四点共圆是解决问题的关键．