题目内容

如图，已知抛物线y=a（x-1）（x-3）与x轴从左至右分别交于A、B两点，与y轴交于点C，且抛物线过点M（4，3），连接AC、BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求sin∠ACB的值；
（3）在线段BC上是否存在一点Q，过点Q作QP平行于y轴交抛物线于点P，使线段PQ取得最大值？如果存在，求出点Q的坐标和PQ的最大值；如果不存在，请说明理由；
（4）将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，过点M的直线y=kx+b与此新图象只有三个交点，求b值．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）把点M（4，3）代入抛物线y=a（x-1）（x-3），解得a=1，即可得出二次函数解析式，
（2）利用二次函数解析式为y=x2-4x+3，得出点A，B的坐标，得出AB=2，过A作AE⊥BC于E，求出OB=OC，可得出∠OBC=45°，求出AE，AC，即可得出sin∠ACB的值，
（3）利用B（3，0），C（0，3）得出yBC=-x+3，再结合二次函数解析式为y=x2-4x+3，QP平行于y轴交抛物线于点P，可求出PQ=-（x-
3
2
）2+
9
4
，即可得出当x=
3
2
时，PQ的最大值和Q的坐标，
（4）分两种情况①直线MA②是过点M的直线与新抛物线相切时，分别求出b的值即可．
解答：解：（1）把点M（4，3）代入抛物线y=a（x-1）（x-3），得3=a（4-1）（4-3），解得a=1，
所以二次函数解析式为y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3，
（2）如图1，

∵二次函数解析式为y=x2-4x+3，
令x2-4x+3=0，解得x1=1，x2=3，
∴点A（1，0），B（3，0），AB=2，
过A作AE⊥BC于E，
∵二次函数解析式为y=x2-4x+3，
当x=0时，y=3，
∴OB=OC=3，
∴∠OBC=45°，
∴AE=
2
，
∵AC=
OA2+OC2
=
10
，
∴sin∠ACB=
AE
AC
=
2
10
=
5
5
，
（3）∵B（3，0），C（0，3）设BC所在的直线为y=kx+b，代入得yBC=-x+3，
∵二次函数解析式为y=x2-4x+3，QP平行于y轴交抛物线于点P，
∴PQ=（-x+3）-（x2-4x+3）=-x2+3x=-（x-
3
2
）2+
9
4

∴当x=
3
2
时，PQ的最大值为
9
4
，此时Q（
3
2
，
3
2
），
（4）如图2，

①直线MA与抛物线有三个交点，设直线MA的解析式为y=kx+b，把A（1，0），M（4，3），可得
y=x-1，所以b=-1，
②新抛物线顶点为（2，1），解析式为y=-（x-2）2+1=-x2+4x-3，点M（4，3）代入直线y=kx+b，得b=3-4k，
联立
y=kx+3-4k
y=-x2+4x-3
，得x2+（k-4）x+6-4k=0，由△=0，k2+8k-8=0，解得得k=-4±2
6
（舍负），b=3-4k=19-8
6
，
综上所述，b=-1或b=19-8
6
．
点评：本题主要考查了二次函数图象与其他函数图象相结合问题，难点是第（4）个问题，要分两种情况解题的关键是结合图形找出直线的位置．
练习册系列答案
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（1）计算：
16
+
38
-2
1
4

（2）计算：（3x2y）•（-2xy）-（-2x2y3）2（-4xy4）
如图，正方形ABCD中，连接BD．点E在边BC上，且CE=2BE．连接AE交BD于F；连接DE，取BD的中点O；取DE的中点G，连接OG．下列结论：
①BF=OF；②OG⊥CD；③AB=5OG；④sin∠AFD=
2
5
5

其中正确结论的是
 
．
如图，五边形ABCDE中，∠E=∠B=90°，DE+BC=2，DC=AB=AE=2，求这个五边形的面积．
如图①，已知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．

（1）该抛物线的对称轴为
 
； A点的坐标
 
；B点的坐标
 
；
（2）连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
（3）如图②，设点P（m，n）（n＞0）是该抛物线对称轴上的任意一点，连接PA、PB、PC，试问：是否存在点P，使得线段PA、PB、PC、PD的长度与一个平行四边形的四条边长对应相等？若存在，请写出一个符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
已知直线y=
3
4
x+b与抛物线y=ax2交于点A（1，-
1
4
），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）把（1）中的抛物线向右平移2个单位，再向上平移m个单位（m＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆恰好以CQ为直径，求m的值；
（3）如图，把抛物线向右平移2个单位，再向上平移n个单位（n＞0），抛物线与x轴交于P、Q两点，过C、P、Q三点的圆的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值和此时n的值；若不存在，请说明理由．
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，O为△ABC的内心，OM⊥AB于M，求OM的长．
用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2-6x+1=0；
（2）（2x-3）2=4x-6；
（3）x2+x+2=0；
（4）x2-7x+12=0．
如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E，则下列四个结论：①点D为AC的中点；②S△O′OE=
1
2
S△AOC；③2AD=AC；④四边形O′DEO是菱形，其中正确的结论有
 
（填序号）．

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