Question

如图，正方形ABCD中，连接BD．点E在边BC上，且CE=2BE．连接AE交BD于F；连接DE，取BD的中点O；取DE的中点G，连接OG．下列结论：
①BF=OF；②OG⊥CD；③AB=5OG；④sin∠AFD=

2 5

5

其中正确结论的是

 

．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：由条件四边形ABCD是正方形可以得出AB=BC=CD=DA，AD∥BC，通过作辅助线制造直角三角形可以求出正弦值，利用三角形相似可以求出线段之间的关系，平行线的性质就可以求出相应的结论．

解答：解：∵CE=2BE，
∴

BE

CE

=

1

2

，
∴

BE

BC

=

1

3

．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA，
∴

BE

AD

=

1

3

，
∵AD∥BC，
∴△BFE∽△DFA，
∴

BF

DF

=

BE

AD

=

1

3

，
∵O是BD的中点，G是DE的中点，
∴OB=OD，OG=

1

2

BE，OG∥BC，
∴BF=OF，①正确，
OG⊥CD，②正确
OG=

1

2

BE=

1

2

×

1

3

BC=

1

6

BC=

1

6

AB，即AB=6OG，③错误，
连接OA，

∴OA=OB=2OF，OA⊥BD，
∴由勾股定理得；AF=

5

OF，
∴sin∠AFD=

OA

AF

=

2OF

5 OF

=

2 5

5

，④正确，
故答案为①②④．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的性质，三角形中位线的性质以及平行线的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．