题目内容
如图①，已知二次函数y=a（x2-6x+8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）该抛物线的对称轴为 ； A点的坐标 ；B点的坐标 ；
（2）连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
（3）如图②，设点P（m，n）（n＞0）是该抛物线对称轴上的任意一点，连接PA、PB、PC，试问：是否存在点P，使得线段PA、PB、PC、PD的长度与一个平行四边形的四条边长对应相等？若存在，请写出一个符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）该抛物线的对称轴为
（2）连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；
（3）如图②，设点P（m，n）（n＞0）是该抛物线对称轴上的任意一点，连接PA、PB、PC，试问：是否存在点P，使得线段PA、PB、PC、PD的长度与一个平行四边形的四条边长对应相等？若存在，请写出一个符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：二次函数综合题
专题：
分析：（1）根据抛物线的对称轴公式，可得抛物线的对称轴，根据函数值为零时，可得A、B点的坐标；
（2）根据直角三角形的性质，可得∠O′AM=60°，根据翻折的性质，可得∠OAC=∠O′AC=60°，再根据直角三角形的性质，可得答案；
（3）根据平行四边形的判定，可得PC与PD的关系，根据PC=PD，可得方程，根据解方程，可得答案．
（2）根据直角三角形的性质，可得∠O′AM=60°，根据翻折的性质，可得∠OAC=∠O′AC=60°，再根据直角三角形的性质，可得答案；
（3）根据平行四边形的判定，可得PC与PD的关系，根据PC=PD，可得方程，根据解方程，可得答案．
解答：
解：（1）二次函数y=a（x2-6x+8）的对称轴是x=-
=3，
令y=0，由a（x2-6x+8）=0，
解得x1=2，x2=4；
令x=0，解得y=8a，
∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），
故答案为：x=3，（2，0），（4，0）；
（2）如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，
由题意得：O′A=OA=2，
∴O′A=2AM，
∴∠O′AM=60°，
∴∠OAC=∠O′AC=60°，
∴OC=2
，即8a=2
，
∴a=
；
（3）存在P点，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，
如图②，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PB，
∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，
∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，-a），
点P的坐标是（3，n），
∴PC2=32+（n-8a）2，PD2=（n+a）2，
由PC=PD得PC2=PD2，
∴32+（n-8a）2=（n+a）2，
整理得：7a2-2na+1=0，
解得n=
=
=
，
当n=
时，即P（3，
）使得线段PA、PB、PC、PD的长度与一个平行四边形的四条边长对应相等．
解：（1）二次函数y=a（x2-6x+8）的对称轴是x=-| -6a |
| 2a |
令y=0，由a（x2-6x+8）=0，
解得x1=2，x2=4；
令x=0，解得y=8a，
∴点 A、B、C的坐标分别是（2，0）、（4，0）、（0，8a），
故答案为：x=3，（2，0），（4，0）；
（2）如图①，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM=1，
由题意得：O′A=OA=2，
∴O′A=2AM，
∴∠O′AM=60°，
∴∠OAC=∠O′AC=60°，
∴OC=2
| 3 |
| 3 |
∴a=
| ||
| 4 |
（3）存在P点，使得线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，
如图②，∵点A、B是抛物线与x轴交点，点P在抛物线对称轴上，
∴PA=PB，
∴当PC=PD时，线段PA、PB、PC、PD能构成一个平行四边形，
∵点C的坐标是（0，8a），点D的坐标是（3，-a），
点P的坐标是（3，n），
∴PC2=32+（n-8a）2，PD2=（n+a）2，
由PC=PD得PC2=PD2，
∴32+（n-8a）2=（n+a）2，
整理得：7a2-2na+1=0，
解得n=
| 7a2+1 |
| 2a |
7×(
| ||||
2×
|
11
| ||
| 8 |
当n=
11
| ||
| 8 |
11
| ||
| 8 |
点评：本题考查了二次函数的综合题，利用了二次函数的图象与性质，直角三角形的性质，把二次函数图象与性质和平行四边形的判定相结合是解题关键．
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