Question

8．如图，一次函数y=-2x的图象与二次函数y=-x²+3x图象的对称轴交于点B．
（1）写出点B的坐标（$\frac{3}{2}$，-3）；
（2）将直线y=-2x沿y轴向上平移，分别交x轴于点C、交y轴于点D，点A是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当△AOB的面积取最大值时，点C的坐标；
（3）已知点P是二次函数y=-x²+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，若△PCD的外接圆直径为PC，试问：以P、C、D为顶点的三角形与△COD能否相似？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只需先求出抛物线的对称轴方程，就可求出点B的坐标；
（2）如图1，由题意可设直线的解析式为y=-2x+b，要使△AOB的面积最大，只需直线DC与抛物线相切，由此可求出b的值，就可解决问题；
（3）过点P作PH⊥y轴，如图2．由题意可设直线的解析式为y=-2x+b，从而可得OC=$\frac{b}{2}$，OD=b，DC=$\frac{\sqrt{5}b}{2}$．由△PCD的外接圆直径为PC可得∠PDC=90°，易证△PHD∽△DOC，根据相似三角形的性质可得$\frac{PH}{DO}$=$\frac{DH}{CO}$=$\frac{PD}{DC}$．然后分两种情况讨论（①△PDC∽△DOC，②若△PDC∽△COD），用b的代数式表示出点P的坐标，然后代入抛物线的解析式，求出b，即可得到点P的坐标．

解答 解：（1）抛物线y=-x²+3x的对称轴为x=-$\frac{3}{2×（-1）}$=$\frac{3}{2}$，
当x=$\frac{3}{2}$时，y=-2x=-2×$\frac{3}{2}$=-3，
则点B的坐标为（$\frac{3}{2}$，-3）．
故答案为（$\frac{3}{2}$，-3）；

（2）如图1，
设直线DC的解析式为y=-2x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+b}\\{y=-{x}^{2}+3x}\end{array}\right.$，
消去y并整理得，
x²-5x+b=0，
当直线y=-2x+b与抛物线y=-x²+3x相切时，
△=（-5）²-4×1×b=25-4b=0，
解得b=$\frac{25}{4}$，
此时直线DC的解析式为y=-2x+$\frac{25}{4}$，
令y=0，可得x=$\frac{25}{8}$，
∴△AOB的面积最大时，点C的坐标为（$\frac{25}{8}$，0）；

（3）过点P作PH⊥y轴，如图2．
设直线的解析式为y=-2x+b，
则有C（$\frac{b}{2}$，0），D（0，b），
从而可得OC=$\frac{b}{2}$，OD=b，DC=$\frac{\sqrt{5}b}{2}$．
∵△PCD的外接圆直径为PC，
∴∠PDC=90°，
∴∠PDH+∠ODC=90°．
∵∠DOC=90°，
∴∠OCD+∠ODC=90°，
∴∠PDH=∠OCD．
∵∠PHD=∠DOC=90°，
∴△PHD∽△DOC，
∴$\frac{PH}{DO}$=$\frac{DH}{CO}$=$\frac{PD}{DC}$．
①若△PDC∽△DOC，
则有$\frac{DP}{DC}$=$\frac{OD}{OC}$=2．
∴$\frac{PH}{DO}$=$\frac{DH}{CO}$=2，
∴PH=2DO=2b，DH=2CO=b，
∴OH=b+b=2b，
∴点P的坐标为（2b，2b）．
∵点P在抛物线y=-x²+3x上，
∴2b=-（2b）²+3×（2b），
解得：b₁=0（舍去），b₂=1，
∴点P的坐标为（2，2）；
②若△PDC∽△COD，
则有$\frac{DP}{DC}$=$\frac{OC}{OD}$=$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{PH}{DO}$=$\frac{DH}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴PH=$\frac{1}{2}$DO=$\frac{1}{2}$b，DH=$\frac{1}{2}$CO=$\frac{1}{4}$b，
∴OH=b+$\frac{1}{4}$b=$\frac{5}{4}$b，
∴点P的坐标为（$\frac{1}{2}$b，$\frac{5}{4}$b）．
∵点P在抛物线y=-x²+3x上，
∴$\frac{5}{4}$b=-（$\frac{1}{2}$b）²+3×（$\frac{1}{2}$b），
解得：b₁=0（舍去），b₂=1，
∴点P的坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．
综上所述：点P的坐标为（2，2）或（$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题主要考查了抛物线的顶点、对称轴、抛物线上点的坐标特征、直线上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、解一元二次方程、勾股定理等知识，运用分类讨论和构造K型相似是解决第（3）小题的关键．