Question

3．如图，矩形OABC的边OA、OC在坐标轴上，反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且k＞0）的图象在第一象限与BC、AB分别交于点M、N，直线MN与y轴交于点D，若$\frac{DM}{DN}=\frac{1}{4}$，记△BMN的面积为s₁，△OMN的面积为s₂，则$\frac{s_1}{s_2}$的值是$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 连接OB．首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得出S_△AON=S_△COM=$\frac{1}{2}$k，然后根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{CM}{BM}$=$\frac{DM}{MN}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BM}{BC}$=$\frac{3}{4}$，从而求得S_△BOM=3S_△COM=$\frac{3}{2}$k，S_△BOC=S_△AOB=$\frac{1}{2}$k+$\frac{3}{2}$k=2k，进一步求得S₁=$\frac{9}{32}$×2S_△BOC=$\frac{9}{32}$×4k=$\frac{9}{8}$k，最后由S_△OMN=S_矩形AOCB-S_△AON-S_△COM-S_△BMN=4k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{9}{8}$k=$\frac{15}{8}$k得出结果．

解答 解：连接OB．
∵M、N是反比例函数$y=\frac{k}{x}$（k为常数，且k＞0）的图象上的点，EA⊥x轴于A，FC⊥y轴于C，
∴S_△AON=S_△COM=$\frac{1}{2}$k．
∵$\frac{DM}{DN}=\frac{1}{4}$，
∴$\frac{DM}{MN}$=$\frac{1}{3}$，
∵AB∥OD，
∴$\frac{CM}{BM}$=$\frac{DM}{MN}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BM}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴S_△BOM=3S_△COM=$\frac{3}{2}$k，
∴S_△BOC=S_△AOB=$\frac{1}{2}$k+$\frac{3}{2}$k=2k，
∴S_△BON=S_△BOC-S_△AON=2k-$\frac{1}{2}$k=$\frac{3}{2}$k，S_矩形=4k，
∴$\frac{AN}{BN}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{BN}{AB}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BM•BN}{BC•AB}$=$\frac{9}{16}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}BM•BN}{BC•AB}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{BM•BN}{BC•AB}$=$\frac{9}{32}$，
∴$\frac{{s}_{1}}{{s}_{矩形ABCD}}$=$\frac{9}{32}$，
∴S₁=$\frac{9}{32}$×2S_△BOC=$\frac{9}{32}$×4k=$\frac{9}{8}$k，
∵S_△OMN=S_矩形AOCB-S_△AON-S_△COM-S_△BMN=4k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{9}{8}$k=$\frac{15}{8}$k．
∴$\frac{s_1}{s_2}$=$\frac{\frac{9k}{8}}{\frac{15k}{8}}$=$\frac{3}{5}$．
故答案是：$\frac{3}{5}$．

点评 本题是反比例函数的综合题，主要考查反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=$\frac{1}{2}$|k|．得出$\frac{AN}{BN}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{BN}{AB}$=$\frac{3}{4}$，是解决本题的关键．