Question

已知，△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于F，作FH⊥BC，EM∥BC，写出图中所有与AF相等的线段，并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：

分析：AF=AE=FH=MC．由△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC与FB平分∠ABC，根据等角的余角相等，易得∠AFE=∠BED，又由对顶角相等，可得∠AEF=∠AFE，则可证得AE=AF．然后利用全等三角形（Rt△AEM≌Rt△FHC）来证得AM=FC，AF=MC．

解答： 解：AF=AE=FH=MC．理由如下：
∵△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠BED=90°，
∵FB平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBD，
∴∠BED=∠AFE，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF．
∵点F在∠ABC的角平分线上，
∴AF=FH．
∵AE=AE，AF=FH，
∴AE=FH．
易证 Rt△AEM≌Rt△FHC，
∴AM=FC，
∴AF=MC．

点评：此题考查了等腰三角形的判定，直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．