Question

12．如图，在?ABCD中，AC，BD交于点O，AE⊥BC于E，EO交AD于F，求证：四边形AECF是矩形．

Answer 1

分析 由ASA证明△AOF≌△COE，得出对应边相等EO=FO，证出四边形AFCE为平行四边形，再由AE⊥BC求出∠AEC=90°，根据矩形的判定得出即可．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴EO=FO，
∵AO=OC，
∴四边形AFCE为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴四边形AFCE为矩形．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定平行四边形的判定和性质；熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．