Question

4．如图，将一个正方形纸片AOCD，放置在平面直角坐标系中，点A（0，4），点O（0，0），点D在第一象限．点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形纸片折叠，使点O落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于点H，折痕为EF，连接OP，OH．设P点的横坐标为m．
（Ⅰ）若∠APO=60°，求∠OPG的大小；
（Ⅱ）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长l是否发生变化？若变化，用含m的式子表示l；若不变化，求出周长l；
（Ⅲ）设四边形EFGP的面积为S，当S取得最小值时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换的性质得出∠PBC=∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB=∠PBC即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8，
（3）先证明△EON≌△EPN，再利用相似三角形的性质得出CF的长，再表示出求出梯形OCFE面积，进而求出最小值

解答 解：（1）∵正方形纸片折叠，使点O落在点P处，点C落在点G处，
∴∠POC=∠OPG，
∵四边形AOCD是正方形，
∴AD∥OC
∴∠APO=∠POC
∴∠APO=∠OPG，
∵∠APO=60°，
∴∠OPG=60°，
（2）△PDH的周长不发生变化，
理由：如图，过B作OQ⊥PG，垂足为Q．

∴∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PQO=90°，
由（1）知，∠APO=∠OPG，
∵OP=OP，
∴△AOP≌△QOP，
∴AP=QP，AO=QO，
∵AO=OC，
∴OC=OQ，
∵∠OCD=∠OQH=90°，OH=OH，
∴Rt△OCH≌Rt△OQH，
∴CH=QH，
∴△PDH的周长l=PD+DH+PH
=PD+DH+PQ+QH
=PD+PQ+DH+QH
=PD+AP+DH+CH
=AD+CD
=8，
∴△PDH的周长不发生变化，周长为定值8；
（3）如图2，过点F作FM⊥OA，

由折叠知，△EON与△EPN关于直线EF对称，
∴△EON≌△EPN，
∴ON=PN，EP=EO，EN⊥PO，
∵∠A=∠ENO，∠AON=∠AOP，
∴△EON∽△POA，
∴$\frac{PO}{EO}=\frac{PA}{EN}=\frac{OA}{ON}$①，
设AP=x，
∵点A（0，4），
∴OA=4，
∴OP=$\sqrt{O{A}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{16+{x}^{2}}$，
∴ON=$\frac{1}{2}$OP=$\frac{1}{2}$$\sqrt{16+{x}^{2}}$，
将OP，ON代入①式得，OE=PE=$\frac{1}{8}$（16+x²），
∵∠EFM+∠OEN=90°，∠AOP+∠OEN=90°，
∴∠EFM=∠AOP，
在Rt△EFM和Rt△POA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EFM=∠AOP}\\{FM=OA}\\{∠A=∠EMF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFM≌Rt△POA（ASA），
∴EM=AP=x．
∴FG=CF=OM=OE-EM
=$\frac{1}{8}$（16+x²）-x
=$\frac{1}{8}$x²-x+2，
∴S_梯形EFGP=S_梯形OCFE
=$\frac{1}{2}$（FG+OE）×BC
=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{8}$x²-x+2+$\frac{1}{8}$（16+x²）]×4
=$\frac{1}{2}$（x-2）²+6，
∴当x=2时，S_梯形EFGP最小，最小值是6，
∴AP=2，
∴P（2，4）．

点评 此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质．相似三角形的判定、二次函数的最值，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用，是一道综合题，有一定的难度，这要求学生要熟练掌握各部分知识，才能顺利解答这类题目．