Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2BC，N为CD的中点，点M在CD上，且AM=AB，求∠MBN的度数．

Answer 1

考点：矩形的性质

专题：

分析：过点M作ME⊥AB于E，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠BAM=30°，再利用等腰三角形两底角相等求出∠ABM，然后求出∠CBM，再根据点N是CD的中点求出△BCM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠CBN=45°，然后根据∠MBN=∠CBN-∠CBM代入数据计算即可得解．

解答：解：如图，过点M作ME⊥AB于E，则EM=BC，
∵AB=2BC，AM=AB，
∴AM=2EM，
∴∠BAM=30°，
在△ABM中，∠ABM=

1

2

（180°-∠BAM）=

1

2

（180°-30°）=75°，
∵矩形ABCD的∠ABC=90°，
∴∠CBM=90°-75°=15°，
∵N为CD的中点，
∴CN=

1

2

CD=

1

2

AB=BC，
∴△BCM是等腰直角三角形，
∴∠CBN=45°，
∴∠MBN=∠CBN-∠CBM=45°-15°=30°．

点评：本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半以及等腰直角三角形的判定与性质，作出辅助线并求出∠BAM=30°是解题的关键．