Question

如图，在△ABC中，已知AC=2cm，△ABC的周长为8cm，K，F，N是△ABC与内切圆的切点，DE切⊙O于点M，且DE∥AC，求DE的长．

Answer 1

考点：三角形的内切圆与内心

专题：

分析：因为AB，AC，BC，DM都是圆的切线，由得，DK=DM，EM=EN，AK=AF，CF=CN，EM=EN，此定理可以证明，以DK=DM为例，连接OD，因为角OKD=OMD=90，OD=OD，OM=OK，所以三角形OKD全等于OMD，所以DK=AD，再由已知条件即可求出DE的长．

解答：解：因为AB，AC，BC，DM都是圆的切线，
由得，DK=DM，EM=EN，AK=AF，CF=CN，EM=EN三角形ABC的周长=AB+BC+AC=BK+AK+AF+CF+CN+BN=8，
又因为，AC=AF+CF=AK+CN=2，代入上式，得BK+BN=4，
三角形BDE周长=BD+DE+BE=BD+DM+EM+BE，
又因为，DK=DM，EM=EN，所以，三角形BDE周长=BD+DK+BE+EN=BK+BN=4，
因为，DE‖AC，所以△BDE∽△BAC，
所以AC：DE=三角形ABC周长：三角形DBE周长=8：4=2，
所以DE=1．

点评：本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了切线长定理．