Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的中线．
（1）求证：BD=CE；
（2）改变题目中的一个条件，（1）的结论仍然成立吗？说明你的理由；
（3）请用文字叙述（2）的结论．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）根据条件可以得出AE=AD，证明△ADB≌△AEC就可以得出结论；
（2）若BD，CE是△ABC的高结论仍然成立；
（3）根据BD，CE是△ABC的高就可以得出∠ADB=∠AEC=90°，就可以AAS得出△ADB≌△AEC就可以得出结论．

解答：证明：（1）∵BD，CE是△ABC的中线．
∴AD=

1

2

AC，AE=

1

2

AB．
∵AB=AC，
∴

1

2

AB=

1

2

AC，
∴AD=AE．
在△ADB和△AEC中，

AD=AE ∠A=∠A AB=AC

，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴BD=CE；
（2）若BD，CE是△ABC的高（1）的结论仍然成立．
理由：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB=∠AEC=90°．
在△ADB和△AEC中

∠ADB=AEC ∠A=∠A AB=AC

，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD=CE；
（3）已知：在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的高，
结论：BD=CE．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，垂直的性质的运用，解答时运用等腰三角形的性质证明三角形全等是关键．