Question

13．如图，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，点M是AE的中点，四边形BCGF和CDHN都是正方形，求证：△FMH是等腰直角三角形．

Answer 1

分析 BM、DM，如图，FM交AC于P，先利用三角形中位线性质得到BM∥CE，BM=DE=CD，DM∥BC，DM=AB=CB，则可判断四边形BMDC为平行四边形，利用平行四边形的性质得∠CBM=∠CDM，接着证明∠FBM=∠HDM，MD=BF，DH=BM，于是可判断△BMF≌△DHM，所以MF=MH，∠MFB=∠HMD，然后证明∠FMH=∠FBC=90°，从而得到△FMH是等腰直角三角形．

解答 证明：BM、DM，如图，FM交AC于P，
∵点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点，点M是AE的中点，
∴BM∥CE，BM=DE=CD，DM∥BC，DM=AB=CB，
∴四边形BMDC为平行四边形，
∴∠CBM=∠CDM，
∵∠FBM=∠FBC+∠CBM，∠HDM=∠HDC+∠CDM，
∴∠FBM=∠HDM，
∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，
∴BC=BF，DH=CD，
∴MD=BF，DH=BM，
在△BMF和△DHM中
$\left\{\begin{array}{l}{BF=DM}\\{∠FBM=∠HDM}\\{BM=DH}\end{array}\right.$，
∴△BMF≌△DHM，
∴MF=MH，∠MFB=∠HMD，
∵BC∥MD，
∴∠BPM=∠PMD，
而∠BPM=∠PFB+∠FBP，∠PMD=∠PMH+∠HMD，
∴∠FMH=∠FBC=90°，
∴△FMH是等腰直角三角形．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．也考查了三角形中位线的性质和全等三角形的判定与性质．解决问题的关键是构建△BMF与△DHM全等．