题目内容
设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2=509（4a+511b）（1）
求a，b的值．
求a，b的值．
考点：一元二次方程的整数根与有理根,数的整除性
专题：转化思想
分析：首先将9（2a+b）2=509（4a+511b）变形为
=
，此时假设m=
，n=
，则可得到b=
=
与n=m2．因而可转化为关于m的一元二次方程3m2-511m+6a=0．利用根与系数的关系，求得m的取值进而讨论a、b的取值．
| 4a+511b |
| 509 |
| 4a+511b |
| 509 |
| 6a+3b |
| 509 |
| 4a+511b |
| 509 |
| 509m-6a |
| 3 |
| 509n-4a |
| 511 |
解答：解：①式即(
)2=
，
故设m=
，n=
，则b=
=
②
∴3n-511m+6a=0，又n=m2，所以3m2-511m+6a=0 ③
由①式可知，（2a+b）2能被509整除，而509是质数，于是2a+b能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式△=5112-72a为完全平方数． （10分）
不妨设△=5112-72a=t2（t为自然数），则72a=5112-t2=（511+t）（511-t）．
由于511+t和511-t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：
①
两式相加，得36a+2=1022，没有整数解．
②
两式相加，得18a+4=1022，没有整数解．
③
两式相加，得12a+6=1022，没有整数解．
④
两式相加，得6a+12=1022，没有整数解．
⑤
两式相加，得4a+18=1022，解得a=251．
⑥
两式相加，得2a+36=1022，解得a=493，而493=17×29不是质数，故舍去．
综合可知a=251． （20分）
此时方程③的解为m=3或m=
（舍去）．
把a=251，m=3代入②式，得b=
=7．
答：a=251，b=7．
| 6a+3b |
| 509 |
| 4a+511b |
| 509 |
故设m=
| 6a+3b |
| 509 |
| 4a+511b |
| 509 |
| 509m-6a |
| 3 |
| 509n-4a |
| 511 |
∴3n-511m+6a=0，又n=m2，所以3m2-511m+6a=0 ③
由①式可知，（2a+b）2能被509整除，而509是质数，于是2a+b能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程③有整数根，所以它的判别式△=5112-72a为完全平方数． （10分）
不妨设△=5112-72a=t2（t为自然数），则72a=5112-t2=（511+t）（511-t）．
由于511+t和511-t的奇偶性相同，且511+t≥511，所以只可能有以下几种情况：
①
|
②
|
③
|
④
|
⑤
|
⑥
|
综合可知a=251． （20分）
此时方程③的解为m=3或m=
| 502 |
| 3 |
把a=251，m=3代入②式，得b=
| 509×3-6×251 |
| 3 |
答：a=251，b=7．
点评：本题考查一元二次方程整数根与有理根、数的整除性问题．解决本题的关键是将问题转化为一元二次方程来解决．
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