Question

19．如图，已知点E、F是矩形ABCD的边BC、AD的中点，联结EF，将四边形ECDF绕点E逆时针旋转，点F正好与四边形ABEF对角线的交点O重合，得四边形OEC′D′，联结AC′，若AB=1，讨求线段AC′的长．

Answer 1

分析 根据已知条件得到AF=BE，推出四边形ABEF是矩形，由矩形的性质得到OA=OE=OF=$\frac{1}{2}$AE，根据旋转的性质得到OE=OF=EF，得到AE=2AB=2，根据勾股定理得到即可得到结论．

解答 解：∵点E、F是矩形ABCD的边BC、AD的中点，
∴AF=BE，
∴四边形ABEF是矩形，
∴OA=OE=OF=$\frac{1}{2}$AE，
∵将四边形ECDF绕点E逆时针旋转，点F正好与四边形ABEF对角线的交点O重合，
∴OE=OF=EF，
∴△OEF是等边三角形，
∴AE=2AB=2，
∴BE=$\sqrt{3}$，
∴CE=EC′=$\sqrt{3}$，
∵∠AEC′=90°，
∴AC′=$\sqrt{A{E}^{2}+EC{′}^{2}}$=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．