Question

5．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[2]=2，[2.9]=2，设f（x）=[x[x]]，
（1）当1≤x＜2时，则f（x）的值等于1，f（x）的值的个数是1；
（2）当1≤x＜3时，则f（x）的值等于1，4，5，f（x）的值的个数是3；
（3）当1≤x＜n时，求f（x）的值的个数．

Answer 1

分析 （1）由[x]表示不超过x的最大整数，可求得当1≤x＜2时，[x[x]]的值，继而求得答案；
（2）由[x]表示不超过x的最大整数，可求得当1≤x＜3时，[x[x]]的值，继而求得答案；
（3）由[x]表示不超过x的最大整数，可求得当1≤x＜n时，[x[x]]的值，继而求得答案．

解答 解：（1）∵当1≤x＜2时，[x]=1，1≤x[x]＜2，
∴[x[x]]=1，
即f（x）=1，f（x）的值的个数是1；
故答案为：1，1；

（2）∵当1≤x＜3时，[x]=1或2，x[x]=1，或4≤x[x]＜6，
∴[x[x]]=1，4，5，
即f（x）=1，4，5，f（x）的值的个数是3；
故答案为：1，4，5；3；

（3）当1≤x＜n时，[x]=1，2，3…n-1，x[x]=1，或4≤x[x]＜6，或9≤x[x]＜12，…．
∴[x[x]]=1，4，5，9，10，11，16，17，19，…
∴f（x）的值的个数是1+2+3+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$．

点评 此题考查了取整函数的知识．注意理解[x]表示不超过x的最大整数是关键．