Question

3．如图，在平面直角坐标系中A（1，0），B（0，3）分别是x轴，y轴上的两点，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，将正方形沿x轴负方向平移2个单位长度后，点C恰好落在反比例函数的图象上．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥x轴于点E，根据正方形的性质以及角的计算即可证出△OBA≌△EAD（AAS），结合点A、B的坐标即可得出点D的坐标，由点B的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出反比例函数解析式，再根据正方形的性质以及点A、B、D的坐标即可得出点C的坐标，设平移后点C的坐标为（3-a，4），利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于a的分式方程，解方程求出a值，此题得解．

解答 解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示．
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠OAB+∠EAD=90°，
又∵∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠OBA=∠EAD．
在△OBA和△EAD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OBA=∠EAD}\\{∠BOA=∠AED=90°}\\{BA=AD}\end{array}\right.$，
∴△OBA≌△EAD（AAS），
∴BO=AE，OA=ED．
∵A（1，0），B（0，3），
∴AE=BO=3，ED=OA=1，
∴D（4，1）．
∵A（1，0），B（0，3），且四边形ABCD为正方形，
∴C（0+4-1，1+3-0），即（3，4）．
∵点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象上，
∴1=$\frac{k}{4}$，k=4，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{4}{x}$．
设平移后点C的坐标为（3-a，4），
∵平移后的点C在反比例函数y=$\frac{4}{x}$的图象上，
∴4=$\frac{4}{3-a}$，解得：a=2，
经检验a=2是方程4=$\frac{4}{3-a}$的解．
∴将正方形沿x轴负方向平移2个单位长度后，点C恰好落在反比例函数的图象上．
故答案为：2．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出反比例函数解析式以及点C的坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数图象上点的坐标特征找出方程是关键．