Question

15．如图．在平行四边形ABCD中，点F在AB的延长线上，且BF=AB．连接FD，交BC于点E
（1）说明：△DCE≌△FBE；
（2）若DF平分∠ADC．且EC=6cm，求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的对边平行且相等，即可得AB=DC，AB∥DC，继而可求得∠CDE=∠F，又由BF=AB，即可利用AAS判定△DCE≌△FBE；
（2）由（1）得BE=EC，即可求得BC的长，又由平行四边形的对边相等，求得AD的长，再由平行线的性质和角平分线的定义证出DC=EC，即可得出四边形ABCD的周长．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB=DC，AD∥BC，AD=BC，
∴∠CDE=∠F，
又∵BF=AB，
∴DC=FB，
在△DCE和△FBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDE=∠F}&{\;}\\{∠CED=∠BEF}&{\;}\\{DC=FB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DCE≌△FBE（AAS）；
（2）解：∵△DCE≌△FBE，
∴EB=EC，
∵EC=6cm，
∴BC=2EB=12cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=12cm，
∴AD=12cm，
∵AD∥BC，DF平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CED，∠ADE=∠CDE，
∴∠CED=∠CDE，
∴DC=EC=6cm，
∴四边形ABCD的周长=2（AD+BC）=2（12+6）=36（cm）．

点评 此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．