Question

5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，在AC上取一点D，AB上取一点E，使∠BDC=∠EDA，过点E作EF⊥BD垂足为N，并与BC交于点F．若CF=4，AD=$\frac{11}{2}$，则CD=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 过B作BH⊥BC交DE的延长线于H，则BH∥AC，推出△ADE∽△BHE，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BH}$，根据平行线的性质得到∠H=∠1，∠2=∠DBH，等量代换得到∠H=∠DBH，于是得到DH=BD，过D作DM⊥BH与M，根据等腰三角形的性质得到BM=$\frac{1}{2}$BH=CD，设CD=x，则BH=2x，根据余角的性质得到∠2=∠3，推出△ADE∽△BFE，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：过B作BH⊥BC交DE的延长线于H，则BH∥AC，
∴△ADE∽△BHE，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BH}$，
∵BH∥AC，
∴∠H=∠1，∠2=∠DBH，
∵∠1=∠2，
∴∠H=∠DBH，
∴DH=BD，
过D作DM⊥BH与M，
∴BM=$\frac{1}{2}$BH=CD，设CD=x，则BH=2x，
∵EF⊥BD，
∴∠BNF=90°，
∴∠2+∠CBD=∠3+∠NBF，
∴∠2=∠3，
∵∠A=∠FBE=45°，
∴∠1=∠3，
∴△ADE∽△BFE，
∴$\frac{AD}{BF}=\frac{AE}{BE}=\frac{AD}{BH}$，
∴BF=BH，即$\frac{11}{2}$+x-4=2x，
∴x=$\frac{3}{2}$．
∴CD=$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．