题目内容
7．
对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．（1）分别判断函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）和y=x+1（-4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y=-x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数y=x2（-1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足$\frac{3}{4}$≤t≤1？
分析 （1）根据有界函数的定义即可得出函数y=$\frac{1}{x}$ （x＞0）不是有界函数、函数y=x+1（-4≤x≤2）是有界函数，再代入x=-4和x=2即可得出其边界值；
（2）根据一次函数的性质可得出函数y=-x+1是单减函数，结合函数的最大值为2即可得出a的值，再代入b的值结合有界函数的定义以及该函数的边界值即可得出关于b的一元一次不等式组，解不等式组即可得出b的取值范围；
（3）当m＞1时，代入x=0即可得出y=-m，由$\frac{3}{4}$≤t≤1可得出此种情况不存在，从而得出m≤1，结合二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征找出原函数横坐标为-1和0时，y的值，根据平移的性质即可得出平移后的函数的最值，根据有界函数的定义以及其边界值$\frac{3}{4}$≤t≤1，即可得出关于m的一元一次不等式组，解不等式组即可得出m的取值范围，此题得解．
解答 解：（1）根据有界函数的定义知，函数y=$\frac{1}{x}$ （x＞0）不是有界函数；
函数y=x+1（-4≤x≤2）是有界函数．
∵-4+1=-3，2+1=3，
∴y=x+1（-4＜x≤2）边界值为3．
（2）∵k=-1＜0，
∴函数y=-x+1的图象是y随x的增大而减小，
∴当x=a时，y=-a+1=2，
解得：a=-1；
当x=b时，y=-b+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-2≤-b+1≤2}\\{b＞a}\\{a=-1}\end{array}\right.$，
∴-1＜b≤3；
（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于-1，
此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1．
当x=-1时，y=1，函数y=x2过点（-1，1）；
当x=0时，y最小=0，函数y=x2过点（0，0）．
都向下平移m个单位，则函数y=x2-m过点（-1，1-m）、（0，-m），
∵$\frac{3}{4}$≤t≤1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}≤1-m≤1}\\{m≤1-m}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤-m≤-\frac{3}{4}}\\{1-m≤m}\end{array}\right.$，
解得：0≤m≤$\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$≤m≤1．
故当0≤m≤$\frac{1}{4}$ 或 $\frac{3}{4}$≤m≤1时，满足$\frac{3}{4}$≤t≤1．
点评 本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、有界函数的定义以及解一元一次不等式组，解题的关键是：（1）根据有界函数的定义判断一个函数是否为有界函数；（2）找出关于b的一元一次不等式组；（3）找出关于m的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据有界函数的定义结合边界值找出不等式组是关键．
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已知在△ABC中，∠A=62°，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，且BO、CO相交于O，则∠BOC的度数是121°．| A． | $\frac{3{a}^{4}{b}^{2}}{6{a}^{2}{b}^{4}}$=$\frac{{a}^{3}}{2{b}^{2}}$ | B． | $\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{a+b}$=a+b | ||
| C． | $\frac{x+3}{{x}^{2}-9}$=$\frac{3}{x-3}$ | D． | $\frac{b-a}{（a-b）^{2}}$=$\frac{1}{b-a}$ |