Question

17．如图，△ABC中，AB=12，AC=15，D为AC上一点，CD=$\frac{2}{3}$AC，在AB边上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，求AE的长．

Answer 1

分析 先计算出AD=5，由于△ADE与△ABC有公共角∠A，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$时，△ADE∽△ACB或当$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$时，△ADE∽△ABC，然后分别利用比例性质计算对应的AE的长．

解答 解：∵AC=15，
∴CD=$\frac{2}{3}$AC=10，
∴AD=AC-CD=5，
∵∠DAE=∠CAB，
∴当$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AE}{AB}$时，△ADE∽△ACB，即$\frac{5}{15}$=$\frac{AE}{12}$，解得AE=4；
当$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AE}{AC}$时，△ADE∽△ABC，即$\frac{5}{12}$=$\frac{AE}{15}$，解得AE=$\frac{25}{4}$．
答：AE的长为4或$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意分类讨论思想的运用．