Question

6．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，点H、F、E、G分别在AB、BC、CD、DA上，且AH=AG=CE=CF=x，四边形EFHG的面积为y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时．四边形EFHG的面积最大？

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=4，得出BH=DE=8-x，DG=BF=4-x，四边形EFHG的面积=矩形ABCD的面积-△AGH的面积-△CEF的面积-△BFH的面积-△DEG的面积，即可得出结果；
（2）先把二次函数化成配方后的形式，由二次函数的性质即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=4，
∵AH=AG=CE=CF=x，
∴BH=DE=8-x，DG=BF=4-x，
∴四边形EFHG的面积=矩形ABCD的面积-△AGH的面积-△CEF的面积-△BFH的面积-△DEG的面积
=8×4-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$（8-x）（4-x）-$\frac{1}{2}$（8-x）（4-x）=-2x²+12x，
即y与x之间的函数关系式为：y=-2x²+12x；
（2）∵y=-2x²+12x=-2（x-3）²+18，-2＜0，
∴y有最大值，
当x=3时，y的最大值=18，
即当x=3时，四边形EFHG的面积最大=18．

点评 本题考查了矩形的性质、三角形和四边形面积的计算、二次函数的最值；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．