Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点，点P是线段AD上一动点，点F是线段AB上一动点，连接PE、PF，则PE+PF的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题

专题：

分析：利用角平分的性质得出CD=DE，再利用全等三角形的性质得出AC=AE，再利用线段垂直平分线的性质得出PE+PF的最小值．

解答：解：连接EC，过点C作CF⊥AB，交AD与点P．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠EAD，
∵∠ACD=∠AED=90°
∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中

AD=AD CD=DE

∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC=AE，
∵∠CAD=∠EAD，
∴AD垂直平分EC，
∴PC=PE，
此时CF=PC+PF=PE+PF最小，
在Rt△AFB′中，∵∠CAB=45°，AC=BC=2，
∴CF=AC•sin45°=2×

2

2

=

2

，
∴PE+PF的最小值为

2

．
故答案为：

2

．

点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P位置是解题关键．