Question

5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE所在直线是BC的垂直平分线，E为垂足，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N．求证：
（1）BM=CN；
（2）AM=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

Answer 1

分析 （1）连接BD，利用线段垂直平分线的性质得出BD=CD，利用角平分线的性质得出DM=DN，进而证明△BMD与△CDN全等即可；
（2）利用△BMD与△CDN全等得出BM=CN，进而证明即可．

解答 证明：（1）连接BD，如图：

∵DE所在直线是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC交AC的延长线于点N，
∴DM=DN，
在Rt△BMD与Rt△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DC}\\{DM=DN}\end{array}\right.$，
∴Rt△BMD≌Rt△CDN（HL），
∴BM=CN；
（2）∵Rt△BMD≌Rt△CDN，
∴BM=CN，AM=AN，
∴AB+AC=AM+BM+AN-CN=2AM，
∴AM=$\frac{1}{2}$（AB+AC）．

点评 此题考查全等三角形的判定和性质，关键是证明△BMD与△CDN全等．