Question

7．观察下列每对数在数轴上的对应点之间的距离：4与-2，3与5，-2与-6，-4与3．并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：相等．
（2）若数轴上的点A表示的数为x，点B表示的数为-1，则A与B两点间的距离可以表示为|x+1|．
（3）结合数轴探求|x-2|+|x+6|的最小值，并说明取得最小值时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接借助数轴可以得出；
（2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．当x＜-1时，距离为-x-1，当-1＜x＜0时，距离为x+1，当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
（3）|x-2|即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x与2之间的距离．|x+6|=|x-（-6）|即x与-6的差的绝对值，它也可以表示数轴上x与-6之间的距离． 借助数轴，我们可以得到正确答案．

解答 解：（1）由观察可知：所得距离与这两个数的差的绝对值相等；
故答案为：相等；

（2）结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论．

当x＜-1时，距离为-x-1，

当-1＜x＜0时，距离为x+1，

当x＞0，距离为x+1．综上，我们得到A与B两点间的距离可以表示为|x+1|；
故答案为：|x+1|；

（3）当x＜-6时，|x-2|+|x+6|=2-x-（6+x）=-2x-4，此时最小值大于8；
当-6≤x≤2时，|x-2|+|x+6|=2-x+x+6=8；
当x＞2时，|x-2|+|x+6|=x-2+x+6=2x+4，此时最小值大于8；
所以|x-2|+|x+6|的最小值为8，取得最小值时x的取值范围为-6≤x≤2；

点评 本题考查了数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便．事实上，|A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数A与数B的点之间的距离．