Question

17．如图，直线MN与直线PQ垂直相交于点O，点A在直线PQ上运动，点B在直线MN上运动．
（1）如图1，已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由，并求出∠AEB的大小．
（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，AD、BC的延长线交于点F．∠ADC的角平分线DE和∠BCD的角平分线CE相交于点E．
①点A、B在运动的过程中，∠F的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由．
②点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由角平分线的定义和三角形内角和定理即可得出结果；
（2）由角平分线的定义和角的关系即可得出结果；
（3）由角平分线的定义和角的关系即可得出结果．

解答 解：（1）∠AEB的大小不变，理由如下：
∵直线MN与直线PQ垂直相交于点O
∴∠AOB=90°
∴∠OAB+∠OBA=90°
∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠OAB，∠ABE=$\frac{1}{2}$∠ABO，
∴∠BAE+∠ABE=$\frac{1}{2}$（∠OAB+∠ABO）=45°，
∴∠AEB=135°；
（2）①∠F的大小不变；理由如下：
∵直线MN与直线PQ垂直相交于点O，
∴∠AOB=90°，
∴∠OAB+∠OBA=90°，
∴∠PAB+∠MBA=270°，
∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$∠BAP，∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ABM，
∴∠BAD+∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠BAP+∠ABM）=135°，
∴∠F=45°；
②∠CED的大小不变；理由如下：
∵∠F=45°，
∴∠FDC+∠FCD=135°，
∴∠CDA+∠DCB=225°
∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，
∴∠CDE+∠DCE=112.5°，
∴∠CED=67.5°．

点评 本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质；熟练掌握角平分线的定义，弄清角之间的数量关系是解决问题的关键．