Question

18．如图，已知正方形ABCD的边长为1，过顶点C的直线与射线AB、AD分别交于点P，Q．求$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$的最大值．

Answer 1

分析 根据已知条件推出△QDC∽△QAP，△PBC∽△PAQ，根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AQ}=\frac{CD}{PQ}$，$\frac{AB}{AP}=\frac{CQ}{PQ}$，于是得到$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$=1+$\frac{1}{PQ}$，推出要使$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$最大，则PQ最小即可，于是得到当AP=AQ时，PQ最小，根据勾股定理得到PQ=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，即可得到结论．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴△QDC∽△QAP，△PBC∽△PAQ，
∴$\frac{AD}{AQ}=\frac{CD}{PQ}$，$\frac{AB}{AP}=\frac{CQ}{PQ}$，
即$\frac{1}{AQ}=\frac{CP}{PQ}$，$\frac{1}{AP}=\frac{CQ}{PQ}$，
∴$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$=1+$\frac{1}{PQ}$，
∴要使$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$最大，则PQ最小即可，
∴当AP=AQ时，PQ最小，
此时∠P=45°=∠BCP，
∴BC=BP=1，同理DQ=1，
∴PQ=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$的最大值=1+$\frac{1}{2\sqrt{2}}$=1+$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，知道当AP=AQ时，$\frac{1}{AP}+\frac{1}{AQ}+\frac{1}{PQ}$的值最大是解题的关键．