Question

9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²-4ax+1（a＞0）与y轴交于点A，点D的坐标为（$\frac{2}{a}$，1），过点D作DC∥y轴，交抛物线于点C，过点C作CB∥x轴，交y轴于点B，连结AD．
（1）当点B的坐标为（0，2）时，求抛物线对应的函数表达式．
（2）当矩形ABCD的边AD被抛物线分成1：3两部分时，求点C的坐标．
（3）当矩形ABCD是正方形时，求a的值．
（4）在抛物线的对称轴上有一点P，当△ABP为等腰直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）由题意易得点C的坐标为：（$\frac{2}{a}$，2），然后代入抛物线y=ax²-4ax+1，即可求得答案；
（2）首先设抛物线交AD于点E，则点E的纵坐标为1，可求得点E的坐标，然后分别从AE=3DE或3AE=DE去分析求解即可求得答案；
（3）若矩形ABCD是正方形，则AD=CD，可求得点C的坐标，然后分别从点C在点D上方与点C在点D下方，去分析求解即可求得答案；
（4）分别从∠BAP=90°，∠ABP=90°或∠APB=90°，去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵CB∥x轴，DC∥y轴，点B的坐标为（0，2），点D的坐标为（$\frac{2}{a}$，1），
∴点C的坐标为：（$\frac{2}{a}$，2），
∵抛物线y=ax²-4ax+1（a＞0）过点C，
∴$\frac{4}{a}$-8+1=2，
解得：a=$\frac{4}{9}$，
∴抛物线对应的函数表达式为：y=$\frac{4}{9}$x²-$\frac{16}{9}$x+1；

（2）设抛物线交AD于点E，则点E的纵坐标为1，
由ax²-4ax+1=1，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴点E的坐标为（4，1），
∵点D的坐标为（$\frac{2}{a}$，1），
则DE=$\frac{2}{a}$-4，
当AE=3DE时，4=3（$\frac{2}{a}$-4），
解得：a=$\frac{3}{8}$，
∴点C的坐标为：（$\frac{16}{3}$，$\frac{11}{3}$）；
当3AE=DE时，12=$\frac{2}{a}$-4，
解得：a=$\frac{1}{8}$，
∴点C的坐标为：（16，25）；

（3）若矩形ABCD是正方形，则AD=CD，
∵点D的坐标为：（$\frac{2}{a}$，1），且DC∥y轴，
∴C（$\frac{2}{a}$，$\frac{4}{a}$-7），
若点C在点D上方，则CD=$\frac{4}{a}$-8，
∴$\frac{2}{a}$=$\frac{4}{a}$-8，
解得：a=$\frac{1}{4}$；
若点C在点D下方，则CD=8-$\frac{4}{a}$，
∴$\frac{2}{a}$=8-$\frac{4}{a}$，
解得：a=$\frac{3}{4}$；
综上可得：a=$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$；

（4）抛物线的对称轴方程为：x=-$\frac{b}{2a}$=-$\frac{-4a}{2a}$=2，
∵△ABP为等腰直角三角形，
∴若∠BAP=90°，则点P的坐标为：（2，1）；
若∠ABP=90°，则AB=BP=2，
∴点P的坐标为：（2，3）或（2，-1）；
若∠APB=90°，AB=2×2=4，
∴点P的坐标为：（2，3）；
综上所述：点P的坐标为：（2，1）或（2，3）或（2，-1）．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了待定系数求二次函数解析式、矩形的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．