Question

10．已知⊙O₁、⊙O₂相交于点A、B，AB=24，O₁O₂=25，⊙O₁半径为20，则⊙O₂半径为15．

Answer 1

分析 分两种情况考虑：①当两圆心O₁与O₂位于公共弦AB两侧时，如图所示，Rt△AO₁C，RT△ACO₂中，利用勾股定理即可解决问题．②当两圆心O₁与O₂位于公共弦AB一侧时，如图所示，Rt△AO₁C，RT△ACO₂中，利用勾股定理求出O₁C的长与O₁O₂比较发现不可能存在．由此即可解决问题．

解答 解：分两种情况考虑：
①当两圆心O₁与O₂位于公共弦AB两侧时，如图所示：

∵AB为⊙O₁与⊙O₂的公共弦，
∴O₁O₂⊥AB，且C为AB的中点，
∵AB=24，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=12，
在Rt△AO₁C中，AO₁=20，AC=12，
根据勾股定理得：O₁C=$\sqrt{{O}_{1}{A}^{2}-A{C}^{2}}$=16，
又∵O₁O₂=25，
∴O₂C=9，
在Rt△AO₂C中，O₂C=9，AC=12，
根据勾股定理得：AO₂=$\sqrt{A{C}^{2}+C{{O}_{2}}^{2}}$=15，
∴⊙O₂半径为15．
②当两圆心O₁与O₂位于公共弦AB一侧时，如图所示：

∵AB为⊙O₁与⊙O₂的公共弦，
∴O₁O₂⊥AB，且C为AB的中点，
∵AB=24，
∴AC=$\frac{1}{2}$AB=12，
在Rt△AO₁C中，AO₁=20，AC=12，
根据勾股定理得：O₁C=$\sqrt{{O}_{1}{A}^{2}-A{C}^{2}}$=16，
又∵O₁O₂=25＞16，
∴这种情形不存在．
∴⊙O₂半径为15．
故答案为15．

点评 此题考查了两圆相交的性质，涉及的知识有：勾股定理，以及连心线与公共弦的关系，利用了分类讨论及数形结合的数学思想，本题注意考虑两种情况，得出符合题意⊙O₂的半径．