Question

17．已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，连心线O₁O₂交AB于点C，O₁A=$3\sqrt{2}$，O₂A=$2\sqrt{3}$，AB=6．求∠O₁AO₂的度数．

Answer 1

分析 分两种情形：①如图1中，当点C在线段O₁O₂上时，根据∠O₁AO₂=∠O₁AC+∠O₂AC即可解决问题，②如图2中，当点C在O₁O₂的延长线上时，根据∠O₁AO₂=∠O₁AC-∠O₂AC即可解决问题．

解答 解：如图1中，当点C在线段O₁O₂上时，
∵AB⊥O₁O₂，AC=BC=3，
∴∠ACO₂=∠ACO₁=90°，
∵AO₂=2$\sqrt{3}$，
∴CO₂=$\sqrt{A{{O}_{2}}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AO₂=2CO₂，
∴∠CAO₂=30°，
∵AO₁=3$\sqrt{2}$，AC=3，
∴CO₁=$\sqrt{A{{O}_{1}}^{2}-A{C}^{2}}$=3，
∴AC=CO₁，
∴∠CAO₁=45°，
∴∠O₁AO₂=∠O₁AC+∠O₂AC=45°+30°=75°，
如图2中，当点C在O₁O₂的延长线上时，
∠O₁AO₂=∠O₁AC-∠O₂AC=45°-30°=15°．
∴∠O₁AO₂的度数为75°或15°．

点评 本题考查相交两个圆的性质、直角三角形30度角的判定等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是正确画出图形，注意有两个解，属于中考常考题型．