二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点.且与直线y=-$\frac{1}{2}$x+1相交于A.B两点.A点在y轴上.过点B作BC⊥x轴.垂足为点C．(1)求二次函数的表达式,(2)点N是二次函数图象上一点.过N作NP⊥x轴.垂足为点P.交AB于点M.求MN的最大值,的条件下.是否存在点N.使得BM与NC相互垂直平分?若存在.求出所有满足条件的N点的坐标,若不存在.说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点（-1，4），且与直线y=-$\frac{1}{2}$x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（-3，0）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，是否存在点N，使得BM与NC相互垂直平分？若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由．

分析（1）令一次函数关系式中x=0、x=-3，求出点A、B的坐标，由三点的坐标利用待定系数法即可得出结论；
（2）设点N的坐标为（m，-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），则点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+1），用含m的代数式表示出来MN，结合二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）假设存在，设点N的坐标为（m，-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），连接BN、CM，当四边形BCMN为菱形时，BM与NC相互垂直平分，根据BC=MN算出m的值，从而得出点N的坐标，再去验证BN是否等于BC，由此即可得出结论．

解答解：（1）令一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+1中x=0，则y=1，
∴点A的坐标为（0，1）；
令一次函数y=-$\frac{1}{2}$x+1中x=-3，则y=-$\frac{1}{2}$×（-3）+1=$\frac{5}{2}$，
∴点B的坐标为（-3，$\frac{5}{2}$）．
将点A（0，1）、点B（-3，$\frac{5}{2}$）、点（-1，4）代入到y=ax²+bx+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{1=c}\\{\frac{5}{2}=9a-3b+c}\\{4=a-b+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{4}}\\{b=-\frac{17}{4}}\\{c=1}\end{array}\right.$．
∴二次函数的表达式为y=-$\frac{5}{4}{x}^{2}$-$\frac{17}{4}$x+1．
（2）设点N的坐标为（m，-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），则点M的坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+1），
∴MN=-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{17}{4}$m+1-（-$\frac{1}{2}$m+1）=-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{15}{4}$m=-$\frac{5}{4}$$（m+\frac{3}{2}）^{2}$+$\frac{45}{16}$，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，MN取最大值，最大值为$\frac{45}{16}$．
（3）假设存在，设点N的坐标为（m，-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{17}{4}$m+1）（-3＜m＜0），连接BN、CM，如图所示．

若要BM与NC相互垂直平分，只需四边形BCMN为菱形即可．
∵点B坐标为（-3，$\frac{5}{2}$），点C的坐标为（-3，0），
∴BC=$\frac{5}{2}$．
∵四边形BCMN为菱形，
∴MN=-$\frac{5}{4}{m}^{2}$-$\frac{15}{4}$m=BC=$\frac{5}{2}$，
解得：m₁=-2，m₂=-1．
当m=-2时，点N的坐标为（-2，$\frac{9}{2}$），
∴BN=$\sqrt{[-2-（-3）]^{2}+（\frac{9}{2}-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\sqrt{5}$，BC=$\frac{5}{2}$，BN≠BC，
故m=-2（舍去）；
当m=-1时，点N的坐标为（-1，4），
∴BN=$\sqrt{[-1-（-3）]^{2}+（4-\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，BC=$\frac{5}{2}$，BN=BC，
∴点N（-1，4）符合题意．
故存在点N，使得BM与NC相互垂直平分，点N的坐标为（-1，4）．

点评本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）求出点A、B的坐标；（2）利用二次函数的性质解决最值问题；（3）根据菱形的性质确定点N的坐标．本题属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）当确定下来四边形BCMN的形状后，问题就得以解决，解决该类型题目时，首先要想到的是将BM与NC当成对角线，根据对角线互相垂直平分能判断出四边形是什么形状，再根据该形状图形的其他性质去解决问题．