Question

11．二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的顶点为P，其图象与x轴有两个交点A（-m，0），B（1，0），交y轴于点C（0，-3am+6a），以下说法：
①m=3；
②当∠APB=120°时，a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$；
③当∠APB=120°时，抛物线上存在点M（M与P不重合），使得△ABM是顶角为120°的等腰三角形；
④抛物线上存在点N，当△ABN为直角三角形时，有a≥$\frac{1}{2}$
正确的是（　　）

• A． ①②
• B． ③④
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 ①把A、B两点的坐标分别代入抛物线的解析式得到①式和②式，将两式相减即可得到m=$\frac{a+b}{a}$，即可得到C（0，3a-3b），从而得到c=3a-3b，代入②式，就可解决问题；
②设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，则有PG⊥x轴，只需求出点P的坐标就可解决问题；
③在第一象限内作∠MBA=120°，且满足BM=BA，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，只需求出点M的坐标，然后验证点M是否在抛物线上，就可解决问题；
④易知点N在抛物线上且△ABN为直角三角形时，只能∠ANB=90°，此时点N在以AB为直径的⊙G上，因而点N在⊙G与抛物线的交点处，要使点N存在，点P必须在⊙G上或⊙G外，如图2，只需根据点与圆的位置关系就可解决问题．

解答 解：①∵点A（-m，0）、B（1，0）在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a{m}^{2}-bm+c=0①}\\{a+b+c=0②}\end{array}\right.$，
由①-②得
am²-bm-a-b=0，
即（m+1）（am-a-b）=0．
∵A（-m，0）与B（1，0）不重合，
∴-m≠1即m+1≠0，
∴m=$\frac{a+b}{a}$，
∴点C的坐标为（0，3a-3b），
∵点C在抛物线y=ax²+bx+c上，
∴c=3a-3b，
代入②得a+b+3a-3b=0，即b=2a，
∴m=$\frac{a+b}{a}$=3，故①正确；
②∵m=3，∵A（-3，0），
∴抛物线的解析式可设为y=a（x+3）（x-1），
则y=a（x²+2x-3）=a（x+1）²-4a，
∴顶点P的坐标为（-1，-4a）．
根据对称性可得PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA=30°．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，
则有PG⊥x轴，
∴PG=AG•tan∠PAG=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴4a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，故②正确；
③在第一象限内作∠MBA=120°，且满足BM=BA，过点M作MH⊥x轴于H，如图1，
在Rt△MHB中，∠MBH=60°，
则有MH=4sin60°=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，BH=4cos60°=4×$\frac{1}{2}$=2，
∴点M的坐标为（3，2$\sqrt{3}$），
当x=3时，y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（3+3）（3-1）=2$\sqrt{3}$，
∴点M在抛物线上，故③正确；
④∵点N在抛物线上，∴∠ABN≠90°，∠BAN≠90°．
当△ABN为直角三角形时，∠ANB=90°，
此时点N在以AB为直径的⊙G上，
因而点N在⊙G与抛物线的交点处，
要使点N存在，点P必须在⊙G上或⊙G外，如图2，
则有PG≥2，即4a≥2，也即a≥$\frac{1}{2}$，故④正确．
故选D．

点评 本题主要考查了抛物线上点的坐标特征、因式分解、三角函数、圆周角定理、点与圆的位置关系等知识，运用因式分解法求m是解决①的关键，将∠ANB=90°转化为点N在以AB为直径的圆上是解决④的关键．