Question

20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，CD切⊙O于点C，BD⊥CD，BD交⊙O于点E，连CE．
（1）求证：∠ABC=∠DBC；
（2）若CD=4，BD=2，求cos∠ECB的值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，OC，由AB是⊙O的直径，得到∠A+∠ABC=90°，由垂直的定义得到∠DCB+∠CBD=90°，根据切线的性质得到∠CDB=∠A，即可得到结论；
（2）连接AE，由勾股定理得到BC=2$\sqrt{5}$，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°=∠AEB，推出△BCD∽△CED，根据相似三角形的性质得到ED=$\frac{C{D}^{2}}{BD}$=8，BE=6AB=$\frac{B{C}^{2}}{BD}=10$，由三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AC，OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠DCB+∠CBD=90°，
∵CD切⊙O于点C，
∴∠CDB=∠A，
∴∠ABC=∠DBC；

（2）解：连接AC，AE，
∵∠D=90°，
∴BC=2$\sqrt{5}$，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°=∠AEB，
∴∠BAC+∠ABC=90°=∠DBC+∠BCD，
∴∠BCD=∠BAC=∠CED，
∴△BCD∽△CED，
∴$\frac{BD}{CD}=\frac{CD}{ED}$，
∴ED=$\frac{C{D}^{2}}{BD}$=8，BE=6，
∵△BCD∽△BAC，
∴$\frac{BC}{BA}=\frac{BD}{BC}$，
∴AB=$\frac{B{C}^{2}}{BD}=10$，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=8，
∴cos∠ECB=cos∠BAE=$\frac{AE}{AB}=\frac{4}{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．