Question

3．设二次方程ax²+bx+c=0的系数a、b、c都是奇数，它的两个实根x₁、x₂满足-1＜x₁＜0，x₂＞1，若b²-4ac=5，求x₁、x₂．

Answer 1

分析 根据二次方程ax²+bx+c=0的系数a、b、c都是奇数，它的两个实根x₁、x₂满足-1＜x₁＜0，x₂＞1，若b²-4ac=5，根与系数的关系，可以得到a、c的值以及a、c与b的关系，从而可以得到x₁、x₂的值．

解答 解：∵二次方程ax²+bx+c=0的系数a、b、c都是奇数，它的两个实根x₁、x₂满足-1＜x₁＜0，x₂＞1，b²-4ac=5，
∴${x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}＜0$，b²=5+4ac＞0，
∴$ac＞-\frac{4}{5}$，
∴$-\frac{4}{5}＜ac＜0$，
∴当a=1时，c=-1或a=-1时，c=1；
∴当a=1时，c=-1时，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{-1}{1}=-1}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{b}{1}}\\{{b}^{2}-4ac={b}^{2}-4×1×（-1）={b}^{2}+4=5}\end{array}\right.$
解得$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵-1＜x₁＜0，x₂＞1，
∴${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
当a=-1，c=1时，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{2}=\frac{c}{a}=\frac{1}{-1}=-1}\\{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{b}{a}=-\frac{b}{-1}=b}\\{{b}^{2}-4ac={b}^{2}-4×（-1）×1={b}^{2}+4=5}\end{array}\right.$
解得$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2}$或x=$\frac{1±\sqrt{5}}{2}$，
∵-1＜x₁＜0，x₂＞1，
∴${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
由上可得，${x}_{1}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}，{x}_{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查根与系数的关系、不等式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．