Question

12．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，正方形OEFG的顶点F在BC的延长线上，OE交BC于点H，连接OF．

（1）求证：OH²=HC•HF；
（2）设HC=x，BF=y，若OB=5，请求出y与x的函数表达式．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得到∠BCO=∠EOF=45°，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）根据正方形的性质得到∠OCB=∠OBC=45°，OB=OC=5，根据相似三角形的性质得到$\frac{HC}{OB}=\frac{OC}{BF}$，把HC=x，BF=y，OB=OC=5代入 即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD与四边形OEFG是正方形，
∴∠BCO=∠EOF=45°，
又∵∠CHO=∠OHF，
∴△CHO∽△OHF，
∴$\frac{OH}{HF}=\frac{CH}{OH}$，
∴OH²=HC•HF；

（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OCB=∠OBC=45°，OB=OC=5，
由（1）知∠EOF=45°，
∴∠OBC=∠EOF，
∵∠OHC=∠OBC+∠BOH，∠BOF=∠EOF+∠BOH，
∴∠OHC=∠BOF，
∵∠OCB=∠OBC，
∴△OHC∽△FOB，
∴$\frac{HC}{OB}=\frac{OC}{BF}$，
∵HC=x，BF=y，OB=OC=5，
∴$\frac{x}{5}=\frac{5}{y}$，
∴y=$\frac{25}{x}$．

点评 本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．