题目内容
6．如图，已知半径为$\sqrt{3}$的⊙P的圆心P在直线y=$\sqrt{3}$x上运动．（1）当⊙P与坐标轴只有一个公共点时，求这个公共点的坐标．
（2）当⊙P与坐标轴有且只有三个公共点时，求圆心P与原点O之间的距离．
（3）当⊙P与坐标轴有4个公共点时．
①直接指出点P的横坐标的取值范围；
②设⊙P与x轴的交点为E，F，点P到y轴的距离为a，试用含a的代数式表示E，F的坐标．
分析 （1）首先确定直线与x轴的夹角，然后根据圆P与坐标轴有一个交点时与y轴相切确定PA=3，然后确定OA的长，从而确定点A的坐标；
（2）当圆P与坐标轴有三个交点时圆P与x轴相切，与y轴相交，根据半径PB的长确定PO的长即可；
（3）根据点P到y轴的距离确定点P的横坐标，从而确定交点的横坐标即可，注意分两种情况：一种在第一象限，一种在第三象限．
解答 解：∵半径为$\sqrt{3}$的⊙P的圆心P在直线y=$\sqrt{3}$x上运动，
∴设P（a，$\sqrt{3}$a），直线PO与x轴的夹角为α，
则tanα=$\frac{\sqrt{3}a}{a}$=$\sqrt{3}$，
∴∠α=60°；
（1）当⊙P与坐标轴只有一个公共点时，如图1，
∵⊙P的半径为$\sqrt{3}$，即PA=$\sqrt{3}$，∠POA=30°，
∴PO=2$\sqrt{3}$，
∴由勾股定理得OA=3，
∴点A的坐标为（0，3），
当点P位于第三象限时可得点A的坐标为（0，-3），
∴当⊙P与坐标轴只有一个公共点时，求这个公共点的坐标为（0，3）或（0，-3）；
（2）当⊙P与x轴相切、与y轴相交时与坐标轴有三个公共点，如图2：
此时PB=$\sqrt{3}$，则PO=$\frac{OB}{sin60°}=2$，
∴圆心P与原点之间的距离为2；
（3）①由（2）知：点P的横坐标为a，则当-$\sqrt{3}$＜a＜$\sqrt{3}$时，有4个公共点；
②如图3，作OC⊥x轴于点C，连接PF，
∵点P到y轴的距离为a，
∴PC=a，
∵PF=$\sqrt{3}$，
∴CF=CE=$\sqrt{3-{a}^{2}}$，
∴点F的坐标为（a+$\sqrt{3-{a}^{2}}$，0），点E的坐标为（a-$\sqrt{3-{a}^{2}}$，0）；
同理当点P位于第三象限时，点F的坐标为（-a+$\sqrt{3-{a}^{2}}$，0），点E的坐标为（-a-$\sqrt{3-{a}^{2}}$，0）；
点评 本题考查了圆的综合知识，题目中将圆与坐标系结合，运用了图形与坐标的知识，解答时能将点的坐标和线段的长有机的结合在一起，是解答本题的重点和关键点，难度中等偏上．
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