Question

19．如图1，正六边形ABCDEF的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正六边形$\frac{3}{2}$（如图2），称为第一次扩展；则正六边形$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$的面积为3；把正六边形$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$边长按原法延长一倍得到正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂（如图3），称为第二次扩展；如此下去…，第n次扩展得到正六边形A_nB_nC_nD_nE_nF_n的面积为3ⁿ．

Answer 1

分析 本题建立在正六边形背景上，进行逐渐的图形“拓展”变化，进而从特殊到一般进行归纳总结拓展后正六边形面积与原正六边形面积之间的规律，复杂图形中含有基本图形（2），为学生研究提供的基本图形，进而得出从特殊归纳出一般性规律．

解答 解：∵拓展前后正六边形是彼此相似的，∴可以利用相似图形的性质求出相似比，从而求出拓展后六边形的面积，
∵正六边形ABCDEF的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁（如图2），
则EF=FF₁，DE=EE₁，
∴EE₁=$\frac{1}{2}$F₁E，∠EE₁F₁=90°，
∴$\frac{EF}{{E}_{1}{F}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴正六边形A₁B₁C₁D₁E₁F₁面积为：3，
∴正六边形A₂B₂C₂D₂E₂F₂面积为：9，
以此类推得出，第n次扩展得到正六边形A_nB_nC_nD_nE_nF_n的面积为：3ⁿ．
故答案为：3，3ⁿ．

点评 此题主要考查了正多边形的性质与相似图形的性质，本题解决的关键是寻找到拓展的正六边形的面积于被拓展的正六边形面积之间的关系．