Question

20．如图，抛物线y=a（x-$\sqrt{6}$-1）²+3与x轴交于M，N两点，正三角形OAB边长为$\sqrt{3}$+1，且AB垂直y轴，将正三角形OAB绕顶点O顺时针旋转75°得正三角形OA₁B₁，边A₁B₁恰好经过点M，则a的值为-3．

Answer 1

分析 根据题意求得∠A₁OM=45°，作A₁C⊥OM于C，解等腰直角三角形求得A₁C=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1），作∠A₁MD=15°，交A₁C于D，得出∠MDC=30°，A₁D=DM，解直角三角形求得CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$-1），即可求得M的坐标，代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求得．

解答 解：∵∠BOB₁=75°，∠A₁OB₁=60°，
∴∠A′OB=15°，
∵AB垂直y轴，
∴∠1=30°，
∴∠A₁OM=45°，
作A₁C⊥OM于C，
∴∠OA₁C=45°，
∴∠MA₁C=15°，
∵OA₁=$\sqrt{3}$+1，
∴A₁C=OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1），
作∠A₁MD=15°，交A₁C于D，
∴∠MDC=30°，A₁D=DM，
∴DM=2CM，设CM=x，则A₁D=DM=2x，
∴DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1）-2x，
∵tan∠MDC=$\frac{MC}{DC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{3}+1）-2x}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴（3+2$\sqrt{3}$）x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（3+$\sqrt{3}$），
解得x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$-1），
∴CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$-1），
∴OM=OC+CM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1）+$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$-1）=$\sqrt{6}$，
∴M（$\sqrt{6}$，0），
代入y=a（x-$\sqrt{6}$-1）²+3得，0=a（$\sqrt{6}$-$\sqrt{6}$-1）²+3，
解得a=-3．
故答案为-3．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角函数，待定系数法求解析式等，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．