Question

10．如图，已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象与一次函数图象y=-x+4交于A、B两点，点A的纵坐标为3．
（1）求反比例函数的解析；
（2）y轴上是否存在一点P，使∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A在y=-x+4上，且点A的纵坐标为3，于是得到A（3，1），由于点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，即可得到结论；
（2）根据勾股定理得到OA=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，根据∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB，于是推出点P在以O为圆心，以OA为半径的圆上，得到OP=$\sqrt{10}$，即可得到结论．

解答 解：（1）∵A在y=-x+4上，且点A的纵坐标为3，得
点A（3，1），
∵点A在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，得k=3，
∴反比例函数的解析为：y=$\frac{3}{x}$；

（2）∵A（1，3），
∴OA=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵OA=OB，
∵∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴点P在以O为圆心，以OA为半径的圆上，
∴OP=$\sqrt{10}$，
∵点P在y轴上，
∴P（0，$\sqrt{10}$）或P（0，$-\sqrt{10}$）．

点评 考查了反比例函数与一次函数的交点问题，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．