Question

9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点G是$\widehat{AD}$上一点，连结AG，CG．
（1）试找出与∠AGC相等的角，并进行证明；
（2）若AB∥DG，求证；△ACG与△ACE相似；
（3）若OE=BE，求∠AGC的度数．

Answer 1

分析 （1）结论：∠ACE=∠AGC．首先证明AB垂直平分CD，推出AC=AD，∠ACD=∠ADC，因为∠AGC=∠ADC，由此即可证明．
（2）如图2中，由DG∥AB，推出∠AEC=∠CDG=90°，推出CG是直径，推出∠CAG=90°，由此即可证明．
（3）如图3中，连接OC、BC．只要证明△OBC是等边三角形即可解决问题．

解答 解：（1）结论：∠ACE=∠AGC．理由如下：
如图1中，连接AD．

∵AB是直径，AB⊥CD，
∴EC=ED，
∴AD=AC，
∴∠ACE=∠ADC，
∵∠AGC=∠ADC，
∴∠ACE=∠AGC．

（2）证明：如图2中，

∵DG∥AB，
∴∠AEC=∠CDG=90°，
∴CG是直径，
∴∠CAG=90°，
∵∠CAG=∠AEC=90°，∠AGC=∠ACE，
∴△ACG∽△EAC．

（3）解：如图3中，连接OC、BC．

∵OE=EB，CE⊥OB，
∴CO=CB=OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠AGC=∠B=60°．

点评 本题考查相似三角形综合题、圆的有关知识、直径的判定和性质、等边三角形的判定和性质、线段的垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．