Question

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD，CD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）当∠ODB=30°时，求证：四边形OBCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据垂径定理得到$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，根据等弧所对的圆周角相等证明结论；
（2）根据30°所对的直角边是斜边的一半得到BC=OD，得到平行四边形DOBC，根据半径相等和菱形的判定定理证明结论．

解答 （1）证明：∵OD⊥AC，
∴$\widehat{AD}$=$\widehat{DC}$，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD平分∠ABC；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，又OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB=30°，
∴∠AOD=60°，
∴∠A=30°，∴BC=$\frac{1}{2}$AB=OB，
∴BC=OD，又OD∥BC，
∴四边形DOBC是平行四边形，又OD∥BC，
∴四边形OBCD是菱形．

点评 吧考查的是三角形的外接圆和外心的性质以及菱形的判定，掌握直角所对的圆周角是直角、等弧所对的圆周角相等和菱形的判定定理是解题的关键．